Щоб перемножити два дроби, потрібно знати тільки одне просте правило множення: чисельники перемножуються між собою, знаменники — між собою. Далі — скорочення, якщо це можливо. Нижче — покрокове пояснення, приклади для всіх випадків і способи уникнути типових помилок.
Що відбувається, коли ви множите дріб на дріб
Множення дробів — це арифметична дія, яка дає новий дріб. Ви перемножаєте “верхні” числа (чисельники) між собою й окремо “нижні” (знаменники), а потім, якщо це можливо, скорочуєте результат. Формула виглядає так:
Якщо є два дроби: a/b і c/d, то їхній добуток — це дріб (a × c)/(b × d).
Як правильно перемножувати звичайні дроби
Щоб не допустити помилок, важливо дотриматися трьох простих кроків. Ось алгоритм:
- Перемножте чисельники обох дробів і запишіть результат у новому чисельнику.
- Перемножте знаменники обох дробів і запишіть результат у новому знаменнику.
- Скоротіть дріб, якщо це можливо, поділивши чисельник і знаменник на їхній спільний дільник.
Приклад на конкретних числах
Візьмемо два дроби: 2/3 і 5/7. Множимо їх між собою:
2/3 × 5/7 = (2 × 5) / (3 × 7) = 10/21.
Оскільки 10 і 21 не мають спільного дільника, результат не скорочується.
Що робити, якщо можна скоротити до множення
Перед множенням варто подивитися, чи можна скоротити числа “навхрест” (чисельник одного дробу і знаменник іншого). Це економить час і спрощує обчислення.
Наприклад, 4/15 × 5/8: скорочуємо 4 і 8 (обидва діляться на 4), також 5 і 15 (обидва діляться на 5):
4/15 × 5/8 = (4 × 5) / (15 × 8) = (1 × 1) / (3 × 2) = 1/6.
Чи потрібно приводити дроби до спільного знаменника
На відміну від додавання й віднімання дробів, при множенні зовсім не потрібно приводити дроби до спільного знаменника. Дія відбувається “напряму”, незалежно від того, чи співпадають знаменники.
Як перемножувати змішані числа
Змішані числа — це числа, які складаються з цілої та дробової частин. Щоб перемножити такі числа, їх спочатку треба перевести у неправильні дроби. Ось як це зробити:
- Помножте цілу частину на знаменник дробової частини.
- Додайте до результату чисельник дробової частини — це новий чисельник.
- Знаменник залишайте без змін.
Приклад множення змішаних чисел
Маємо 1 2/5 і 2 1/3. Переводимо у неправильні дроби:
1 2/5 = (1 × 5 + 2)/5 = 7/5; 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3.
Тепер перемножаємо: 7/5 × 7/3 = (7 × 7)/(5 × 3) = 49/15.
Якщо потрібно, перетворіть результат назад у змішане число: 49/15 = 3 4/15.
Множення дробів із різними знаками
Якщо хоча б один із дробів від’ємний, враховуйте правило знаків:
- Плюс на плюс дає плюс.
- Плюс на мінус або мінус на плюс дає мінус.
- Мінус на мінус дає плюс.
Наприклад, –2/7 × 3/5 = (–2 × 3) / (7 × 5) = –6/35.
Як перемножити десяткові дроби
Десяткові дроби множаться як звичайні натуральні числа, а потім у результаті ставиться кома. Кількість знаків після коми у відповіді дорівнює сумі знаків після коми у першому і другому числі.
0,3 × 0,7 = 3 × 7 = 21, а після коми — два знаки: 0,21.
Якщо потрібно перемножити десятковий дріб і звичайний, спочатку переведіть один із них у відповідний формат.
Що таке скорочення дробів під час множення
Скорочення спрощує обчислення та допомагає уникнути громіздких чисел у чисельнику й знаменнику. Можна скоротити:
- Чисельник одного дробу зі знаменником іншого.
- Чисельник і знаменник у межах одного дробу (якщо це дозволяє завдання).
Правильний спосіб скорочення при множенні
Якщо у добутку дробів чисельники і знаменники мають спільний дільник, скоротіть їх до мінімуму перед множенням. Це реально економить час та зменшує ризик помилок.
3/8 × 4/9: скоротіть 3 і 9 (на 3), 4 і 8 (на 4):
3/8 × 4/9 = (1 × 1)/(2 × 3) = 1/6.
Як виконати множення кількох дробів поспіль
Якщо потрібно перемножити більше ніж два дроби, правило залишається тим самим: перемножте всі чисельники між собою, а потім усі знаменники. Результат скоротіть, якщо це можливо. Порядок виконання операцій не впливає на відповідь.
Наприклад, 2/5 × 3/4 × 1/2 = (2 × 3 × 1) / (5 × 4 × 2) = 6 / 40 = 3 / 20 після скорочення на 2.
- Перемножуйте поступово, скорочуючи на кожному кроці.
- Використовуйте спільні дільники для спрощення обчислень.
- Якщо є протилежні знаки, врахуйте їх у результаті.
Типові помилки при множенні дробів
Більшість помилок виникає через неправильне застосування правил або пропуск скорочення. Щоб уникнути цього, тримайте в голові такі моменти:
- Не додавайте чисельники або знаменники — їх потрібно тільки множити.
- Не переплутуйте правила додавання та множення дробів.
- Скорочуйте тільки “навхрест”, а не в межах чисельників або знаменників різних дробів.
- Не забувайте про знак результату, особливо якщо множите від’ємні дроби.
- Якщо маєте змішані числа, обов’язково переводьте їх у неправильні дроби перед множенням.
- Якщо дроби можна скоротити перед множенням, зробіть це одразу — так легше рахувати.
Множення обернених дробів
Обернені дроби — це такі, у яких чисельник і знаменник поміняні місцями. Якщо перемножити дріб і його обернений, результат завжди дорівнює 1, якщо обидва числа не дорівнюють нулю.
Наприклад, 3/7 × 7/3 = (3 × 7) / (7 × 3) = 21 / 21 = 1.
Цей прийом часто використовують для скорочення розрахунків або спрощення формул.
Як множити дроби з різними типами запису
Часто дроби подають у різних виглядах: звичайні, десяткові, змішані числа. Щоб перемножити такі дроби, спочатку переведіть їх до одного формату:
- Десяткові дроби переведіть у звичайні (наприклад, 0,75 = 3/4).
- Змішані числа переведіть у неправильні дроби.
- Якщо дроби вже у звичайному вигляді, множте напряму.
0,5 × 2 1/3 = 1/2 × 7/3 = (1 × 7) / (2 × 3) = 7/6 = 1 1/6.
Як перевіряти результат множення дробів
Щоб упевнитися у правильності обчислень, скористайтеся декількома дієвими перевірками:
- Перевірте, чи правильно перемножено чисельники та знаменники.
- Перегляньте, чи виконали скорочення на кожному етапі.
- Якщо результат — неправильний дріб, переведіть його у змішане число та переконайтеся, що частка правильна.
- Порівняйте отриманий дріб з початковими: якщо обидва дроби менші за 1, результат також повинен бути менше за 1.
Як використовувати множення дробів у задачах
Множення дробів часто зустрічається в задачах на пропорції, площі, масштаб, розрахунок частин від частин. Ось як застосувати правило у практиці:
- Щоб знайти частину від частини, перемножте відповідні дроби.
- Для знаходження площі прямокутника з дробовими сторонами множте їх як звичайні дроби.
- У задачах на масштаб або збільшення/зменшення розмірів використовуйте множення дробів для коректного перерахунку.
Задача: Від шматка тканини залишилося 3/5. Від цієї частини використали 2/3. Скільки залишилося? 3/5 × 2/3 = 6/15 = 2/5 після скорочення.
Як скоротити складні дроби після множення
Після множення можуть виникнути дроби з великими чисельниками й знаменниками. Щоб їх скоротити:
- Знайдіть найбільший спільний дільник (НСД) чисельника і знаменника.
- Поділіть обидві частини дробу на цей дільник.
- Якщо результат не скорочується — залиште у такому вигляді або перетворіть у змішане число, якщо він неправильний.
Наприклад, 18/24 × 2/3 = (18 × 2) / (24 × 3) = 36 / 72 = 1 / 2 після скорочення на 36.
Як подати відповідь у найзручнішому вигляді
У більшості задач відповідь записують у скороченому вигляді. Якщо дріб неправильний, його зазвичай переводять у змішане число. Якщо виходить ціле число — запишіть його без дробової частини.
- 18/6 = 3 (ділиться без остачі, тому відповідь — ціле число).
- 17/6 = 2 5/6 (2 — цілих, 5/6 — залишок).
Слідкуйте за вимогами конкретного завдання: у тестах іноді просять залишити дріб у неправильному вигляді, в інших випадках — у вигляді змішаного числа.
Як швидко скоротити дроби при множенні в умі
Для простих обчислень можна скорочувати одразу “навхрест”, не записуючи зайвих кроків. Ось як це працює:
- Знайдіть спільні дільники між чисельниками і знаменниками різних дробів.
- Одразу поділіть відповідні числа.
- Перемножте спрощені числа.
5/9 × 3/10: скоротіть 5 і 10 (на 5), 3 і 9 (на 3): 1/3 × 1/2 = 1/6.
Такий підхід особливо зручний у задачах з великими числами або при обмеженому часі.
Як множити дріб на ціле число
Множення дробу на ціле число — це те саме, що множити чисельник дробу на це число, залишаючи знаменник без змін. Можна подати ціле число як дріб зі знаменником 1 та скористатися стандартним правилом множення дробів.
- Наприклад, 2/5 × 3 = (2 × 3) / 5 = 6/5 = 1 1/5.
- Або 3 × 4/7 = (3 × 4) / 7 = 12/7 = 1 5/7.
Якщо число ділиться на знаменник, скоротіть результат до цілого.
Що робити, якщо результат — неправильний дріб
Неправильний дріб — це такий, у якого чисельник більший або дорівнює знаменнику. У більшості випадків відповідь потрібно подати у вигляді змішаного числа. Для цього:
- Поділіть чисельник на знаменник без остачі — це буде ціла частина.
- Остача стане чисельником дробової частини, знаменник залишиться тим самим.
13/4 = 3 1/4 (бо 13 : 4 = 3, остача 1).
Такий запис частіше використовують у підсумкових відповідях, особливо якщо завдання цього вимагає.
Як множити дріб на дріб, якщо є різні знаки
Звертайте увагу на знаки дробів. Якщо множите від’ємний і додатний дріб, відповідь буде від’ємною. Якщо обидва дроби від’ємні, результат буде додатним. Знак ставте у чисельнику або перед дробом.
- –2/3 × 5/7 = –10/21.
- –3/8 × –2/5 = 6/40 = 3/20 (два мінуси дають плюс).
Пам’ятайте, що знак “мінус” можна винести перед дробом або зберегти в чисельнику, це не впливає на результат.
Як працює множення дробів у текстових задачах
У задачах на частини або дробові відношення використовуйте множення дробів для знаходження відповіді. Наприклад, якщо потрібно знайти частину від частини або обчислити залишок, множте відповідні дроби.
Приклад: Від класу 3/4 учнів здали контрольну. З них 2/3 отримали “12”. Скільки це від усього класу? 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2.
Розв’язавши таку задачу, одразу бачите частку від загальної кількості.
Як уникнути помилок при множенні дробів
Щоб результат був правильним, дотримуйтесь кількох дієвих порад:
- Завжди скорочуйте дроби до множення, якщо це можливо.
- Перевіряйте, чи правильно перемножили чисельники і знаменники.
- Не плутайте множення з додаванням — знаменники не зводьте до спільного.
- Стежте за знаками, особливо якщо один із дробів від’ємний.
- Після множення скоротіть результат і, якщо потрібно, запишіть відповідь у вигляді змішаного числа.
Як множити дроби з великими числами
Якщо дроби мають великі чисельники та знаменники, скорочення перед множенням допоможе уникнути складних обчислень. Знайдіть спільні дільники одразу, щоб не отримати великі числа у підсумку.
Наприклад, 24/35 × 15/56. Скорочуємо 24 і 56 на 8 (24/8 = 3, 56/8 = 7), 15 і 35 на 5 (15/5 = 3, 35/5 = 7): 3/7 × 3/7 = 9/49.
Цей підхід економить час і знижує ризик помилок при ручному обчисленні.
Множення дробів у вигляді таблиці для наочності
Для швидкого порівняння результатів множення різних дробів зручно використовувати таблицю. Ось приклад:
| Перший дріб | Другий дріб | Результат | Скорочений вигляд |
|---|---|---|---|
| 2/3 | 4/5 | 8/15 | 8/15 |
| 3/4 | 2/9 | 6/36 | 1/6 |
| 5/6 | 3/5 | 15/30 | 1/2 |
| 7/8 | 4/7 | 28/56 | 1/2 |
| 1/2 | 1/3 | 1/6 | 1/6 |
Така візуалізація допомагає швидше засвоїти принципи множення дробів і перевірити свої розрахунки.
Пояснення на складних прикладах
Розглянемо нетипові випадки, щоб уникнути непорозумінь:
- Множення на нуль: будь-який дріб, помножений на 0, дає 0.
- Множення на 1: будь-який дріб, помножений на 1, лишається без змін.
- Множення дробу на його обернений: дає 1, якщо дріб не дорівнює нулю.
- Множення дробів, у яких чисельник або знаменник містить змінну: застосовуйте ті самі правила, як і для чисел.
Наприклад, a/b × b/a = (a × b) / (b × a) = 1.
Множення дробів у вигляді формули
Для будь-яких чисел a, b, c, d (b ≠ 0, d ≠ 0):
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d).
Ця формула універсальна для всіх випадків множення звичайних дробів. Її використовують і в задачах, і в алгебраїчних виразах.
Висновок
Множення дробів зводиться до перемноження чисельників і знаменників, скорочення результату та, за потреби, переведення у змішане число. Правильне скорочення та уважність до знаків — ключ до швидких і точних обчислень.
